文|青衫洵

编辑|青衫洵

机械非线性系统的研究可以揭示超导电路中的动力学行为和物理机制，通过研究非线性振动、共振和耦合效应等现象，能够深入了解超导电路中的能量传输和耗散过程。

这有助于优化超导电路的结构设计和参数选择，提高其能量传输效率和噪声抑制性能。

此外，机械非线性系统的研究还有助于发展新的控制方法和技术，以实现对超导电路的精确控制，非线性系统常常表现出丰富的动力学行为，如周期倍增、混沌和共存态等。

动力学中机械非线性系统，对超导电路领域的发展有何帮助？

线性系统中量子纠缠的作用

机械非线性系统是量子力学中最有趣的性质之一，它描述了纠缠系统的全部属性，在量子纠缠系统中，子系统性质之间的相关性在空间域中是不可分离的，只要子系统之间存在纠缠，无论它们相距多远，都是存在交互的。

由于量子系统之间的相干性和纠缠性，纠缠系统中有大量可用的信息资源，因此，信息传输有可能跨越空间限制。

量子纠缠在量子计算、量子信息处理和量子物理系统中起着重要作用，物理系统间相关性的测量是现代技术背景下复杂物理系统研究的核心，但物理系统之间的相关性不能用经典物理学来解释。

在物理学中，熵可以解释为系统无序程度的测量，它可以测量物理系统状态的不确定性，冯诺依曼熵、相对熵、仁义熵和线性熵等方法可以测量非线性系统的复杂性。

而且利用冯·诺依曼熵和仁义熵等信息动力学方法，在量子信息传输、分子动力学系统和超导电路等领域进行了深入探讨。

对于非纠缠态，混合态可以分解为所有纯态子系统的乘积态，子系统以一定的概率出现在复合系统中，此时，其他子系统的属性将不起作用，熵可用于测量和量化系统。

通过分析离子与激光场相互作用，在时间演化过程中产生的信息熵模式，同时精确信息熵与多级离子和激光场之间的关系。

利用减密度线性熵法，三原子分子H的两种拉伸振动的动态纠缠在不同MQN和初始状态下的代数模型中，从而可以表征这两个分子中的不同纠缠行为。

代数模型是小分子振动的动力学纠缠，并给出了可积二聚体的线性熵、冯诺依曼熵和李雅普诺夫函数的解析表达式，以及初始状态和相关状态下的实际小分子。

使用分析方法确定由光学限制脉冲激发的多原子分子的振动状态，并使用冯诺依曼熵来描述纠缠的大小和振动模式。

全息术对强耦合远非平衡量子态中的纠缠熵和量子零能条件进行了数值研究，二维离子阱系统中的量子纠缠，利用还原熵讨论了离子和声子之间的量子纠缠，利用量子相对熵讨论了x和y方向振动的两个自由度之间的量子纠缠。

冯·诺依曼熵、仁义熵等信息动力学方法经历了从理论到实验、从微观到宏观、从离散到连续的发展，人们更喜欢并关注微观物理系统的纠缠。

微观量子信号和宏观物理信号之间存在复杂的联系和差异。利用冯诺依曼熵和仁义熵探索非线性力学系统的模态辨识、系统动力学演化和故障诊断，将这些扩展到非线性系统动力学的研究具有重要意义。

旋转机械结构健康监测是基于收集到的状态监测数据识别潜在故障、评估运行状态和预测可靠运行概率的重要手段，在结构健康退化的情况下，相应的振动信号将表现出由潜在故障引起的变化。

在大型旋转机械传动中，由于发生关键部件的偶发失效来激发整个机械系统的非线性振动，旋转机械结构健康监测的振动信号具有许多典型特征，大致可分为两类：

第一类便是内部特性：强非线性、不稳定性、强耦合性，还有便是信号的外部特性：外部复激励和噪声对系统振动有明显影响。

信号的内部和外部特性相互作用并相互耦合，尝试利用冯诺依曼熵和仁义熵来分析信号的强非线性、不稳定性、强耦合等特性，提取信号的敏感特征变量，并进行模态辨识。

接下来面临的第二个问题是如何减少复杂外部激励的干扰，在一定程度上提高声噪比，因为噪声对计算信号之间的冯诺依曼熵和仁义熵有很大的影响。

因此必须开发强大的数据去噪技术，以使特征对感兴趣的变化保持敏感，数据量大，信噪比低，增加了振动信号处理的难度。

而且除了这些技术还有一种便是压缩感知作为一种新的采样理论，通过信号的稀疏特征得到信号的离散样本，并通过非线性重构算法完美地重建信号。

压缩感知技术可用于重建具有噪声干扰和无噪声干扰的稀疏信号，并且对测量数据的多级量化具有很强的鲁棒性和稀疏性，一经提出，在信息论、图像处理、雷达成像和生物医学工程等领域受到广泛关注。

机器运行环境的变化是不可预测的，当行星齿轮和轴承等大型机械设备的关键传动部件发生故障时，其振动信号具有典型的强非线性特性，机械设备的状态监测、故障诊断和动态反演一直是各国相关领域学者关注的热点和难点。

因此，非常适合用混沌系统和实旋转力学非线性系统来验证冯诺依曼熵和仁义熵理论的有效性、优越性和普遍性。

而且多体力学系统中的非线性振动相关非常复杂，因此非线性系统中冯诺依曼熵与伦义熵和振动相互作用的关系是非常有意义和必要的。

仁义熵在量化系统的程度

如果两个微观粒子在一个共同的系统中纠缠在一起，通过测量其中一个粒子的性质，可以预测与粒子纠缠的另一个粒子的信息，从而避免测量技术对粒子真实物理状态的干扰。

纠缠熵反映了纠缠系统的混沌程度和量子系统的不确定性，冯诺依曼熵和仁义熵是测量系统中纠缠程度的工具，它们可以量化系统的混沌程度以及不同系统之间的非线性特征和耦合关系。

在混合状态系统中，每个子系统都以一定的概率出现，它们之间不存在相干或干扰的问题。

纠缠态不能写成所有纯态子系统的乘积状态，它由非固定相位的多个概率幅值相关组成，子系统相互交互不能分开。

为了方便描述量子系统的状态特征，介绍了密度矩阵，在非线性机械系统中，信号不可避免地会受到许多外部因素的影响，这些因素加剧了非线性和混乱的程度。

同时也希望能够找到一个数学模型来描述非线性力学系统的状态特征，因此，非线性力学系统的状态密度矩阵，以冯诺依曼熵和仁义熵为定量指标，量化混沌程度、非线性特征和耦合，分析非线性力学系统在模态辨识、系统时间演化和故障诊断等方面的问题。

其实还有在信息论中，仁义熵应该在什么时候采用不同的参数值，它表示不同类型的熵函数，也就是说它包括哈特利熵、香农熵、碰撞熵和最小熵。

正是仁义熵具有这种普遍性，所以才应该充分考虑它的局限性和适用范围，关于广义相关熵，它有两个限制：所有关联等级都是指非互相关和非记忆关联。

然而，仁义熵及其包含的广义熵代表了信息的不确定性，并测量了系统的混沌、非线性和耦合程度。

压缩传感利用信号在某个域中的稀疏性和可压缩性。原始信号用与变换基不相关的观测矩阵观察，在低维空间中形成观测值，最后，通过求解已知测量矩阵、变换基和观测值的凸优化问题得到重建信号。

提高各观测基之间的独立随机性和不相干程度，在观测基与信号之间，对观测值的测量次数和长度进行相应优化，使重建结果更加准确，将使用压缩传感的降噪能力来重建采集的信号，以减少噪声影响。

模拟信号显示在图1a，在仿真信号中加入信噪比为−10 dB的高斯白噪声，带噪声的时域图如图1b，利用压缩传感技术对仿真信号进行降噪过程，得到的结果如图所示：图1c。

图1

该上方的图还显示了重构信号基本保证了原始信号特征元素的同步，原始信号与重建信号之间的皮尔逊相关系数为0.8927。

结果表明，基于信号稀疏性和非相关性的压缩感知技术能够有效地从冗余和复杂的强噪声中重建出高精度的原始信号，并且对噪声具有较强的鲁棒性。

方法流程如下：机械系统的加速度信号由加速度传感器收集：x方向信号和y方向信号；压缩传感技术用于重建和降低信号噪声；构建了非线性力学系统的状态密度矩阵，分别利用冯诺依曼熵和仁义熵计算了两个自由度信号之间的耦合度。

介绍方法的流程图如图2。

图2 系统当中的变换

而且混沌系统是指确定性系统中存在随机不规则运动，其行为具有不确定性、不可重复性和不可预测性三个特征。

当参数选择某些值时，吕系统进入混沌状态，a、b和c是吕混沌系统的三个控制参数，当参数a=36，b=3，c=20时，系统的动态行为呈现混沌状。

图3

这种混沌状给出了 x、y 和 z 的初始值分别为 −3、−6 和 3.6，混沌系统吸引子如图3，混沌吸引子的相图和三维图像，如图3。

然而在吕混沌系统中，参数c在整个系统中起着控制作用，吕混沌系统的动态行为随控制参数c的变化具有明显的阶段性。

为了进一步探讨系统的混沌特性，在动力学仿真中，控制参数c在步长为12.30之间的变化，考虑到冯诺依曼熵和仁义熵是很好的无量纲测度。

将动态比较这两个指标，并随着控制参数c的变化，计算x、y和z之间的冯诺依曼熵和伦尼熵，如图4和图5可以观察到，这种非线性系统表现出复杂而丰富的混沌动力学行为。

图4

当混沌系统的参数c发生变化时，x、y和z之间的耦合度也随之变化，在这个过程中，包括系统的非混沌和混沌状态。

同时也可以看到，所有的熵值都是负的，负熵通过一个新的角度间接说明了系统中的混沌程度，对于混沌系统，从外部系统汲取的负熵不能像生命体一样减少自身的熵增，以维持系统的有序发展。

图5

负熵可以解释为混沌系统向非混沌系统转变所需的确定信息量，系统所需的信息量越大，意味着混沌系统中的不确定因素越多，系统就越混乱。

吕混沌系统不进入混沌状态，x-y和y-z的耦合度较大，冯诺依曼熵值在0附近波动，随着c的增大，系统进入混沌状态，x、y、z之间的耦合度迅速减小，值离0越远，因为它们在较长的时间演化中离零越远。

这是因为非线性相互作用和更多的状态对冯诺依曼熵和仁义熵的演化有很大贡献，其次，通过计算两种熵进一步反映吕混沌系统中x、y、z之间的耦合度。

参数 c 的范围从最初开始变化，同时也讨论了吕系统的冯诺依曼熵和仁义熵随混沌系统控制参数c和c = 12（即非混沌状态）的变化。

接下来，从另一个角度，利用不同尺度的仁义熵，全面、立体地研究吕氏混沌系统，当取特征参数c分别为12、20、28、30时，得到x-y和y-z的仁义熵图像。

其中，参数τ的仁义熵处于变化状态，在四种状态下，仁义熵在区间内迅速变多，随着刻度参数的增加，四种状态的仁义熵增长速度放缓，收敛到附近的一个值。

总体上显示仁义熵的趋势c=12> 仁义熵c=20> 仁义熵c=28> 仁义熵c=30，两种熵度量可以准确区分吕系统的几种不同状态以及x、y、z之间的耦合度，即系统的三个自由度数据。

冯诺依曼熵和仁义熵的耦合度测度在吕系混沌特征的研究中，可以发挥重要且大致相同的作用，这两种测量方法可以为标准非线性系统提供耦合测量，并准确判断混沌系统的状态。

全向量多尺度仁义熵对吕混沌系统状态的变化具有足够的鲁棒性，然而，在非线性力学系统的信号处理中，冯诺依曼熵和仁义熵需要更多的研究。

结语

本文提出了一种描述力学系统非线性特征和耦合关系的新方法，建立了非线性力学系统的状态密度矩阵，以冯诺依曼熵和仁义熵为测量指标，量化非线性系统之间的混沌程度，还有非线性特征和耦合。

所提出的方法应用于混沌系统和两个典型的非线性力学系统，并研究了冯诺依曼熵和仁义熵在模式识别中的能力。

针对更复杂的行星齿轮传动系统，在此基础上扩展了耦合系统，提出了一种新的非线性系统状态测量指标——全矢量多尺度仁义熵。

并讨论了几种非线性力学系统之间的程度和耦合关系，研究结果在非线性力学系统和信息动力学之间架起了一座桥梁，证明了所提方法在非线性系统的模态辨识，同时也证明了系统动力学演化和故障诊断中的有效性。

械非线性系统的研究对超导电路领域具有重要的帮助。通过深入理解和控制机械非线性效应，我们能够提高超导电路的性能、稳定性和功能扩展能力。

这将推动超导电路在量子计算、通信和传感器等领域的应用发展，为未来的科技创新和应用提供坚实的基础。